5.13 Aquest me'l van posar a un examen. $A\vee B,\ A\Rightarrow C,\ \neg D\Rightarrow\neg B\vdash C\vee D$

A l'examen final d'ILO em van posar $A\vee B,\ A\Rightarrow C,\ \neg D\Rightarrow\neg B\vdash C\vee D$, i vaig passar molta, molta estona fins que em va sortir:

$$\begin{fitch} \par A \vee B \\ \par A \Rightarrow C \\ \par... ...\vee$\ 12 \\ \par C \vee D & E$\vee$\ 1,6,13 \par \end{fitch}$$

Fixa't en que el resultat que busquem, $C\vee D$, és una disjunció. Com ja coneixes la introducció de la disjunció, podries buscar simplement que $C$, i després utilitzar aquesta regla per treure $C\vee D$. O si no trobessis que $C$ és certa, doncs podries provar amb $D$, perquè si $D$ és certa llavors $C\vee D$ ho és i hem acabat.

Desgraciadament, $C$ no és certa sempre, i $D$ tampoc és certa sempre (en canvi $C\vee D$ sí que ho és sempre, i això és precisament el que volem demostrar). Després d'entendre això, s'haurà de buscar un altre mètode que treballi amb les dues fórmules $C$ i $D$, al mateix temps, perquè sembla que si agafem una sola sense mirar l'altra, no proporciona molta informació.

Per usar el $A\vee B$ s'haurà de fer la prova per casos. Intentarem arribar a que tant $A$ com $B$ condueixen a $C\vee D$, perquè si ho aconseguim ja haurem acabat.

$A$ implica $C$, i si $C$ és cert també ho és $C\vee D$, per tant $A$ implica $C\vee D$.

Sobre $B$, el poc que sabem no la relaciona amb $C$ sinó amb la $D$. Volem $C\vee D$. Difícilment aconseguirem que $C\vee D$ es compleixi gràcies a $C$, així que intentarem que sigui $D$ la certa. Per fer-ho, usem reducció a l'absurd: suposem que $D$ és fals, llavors es compleix $\neg B$ per la fórmula de la línia 3. Però érem sota la suposició que $B$ era cert, així que la nostra hipòtesi $\neg D$ no pot ser certa, i llavors $D$ és certa, i per tant $C\vee D$ també.

Com $A\vee B$ és cert, i tots dos camins ens porten a $C\vee D$, acabem veient que $C\vee D$ sempre és cert.

Si tens pràctica treballant amb fórmules lògiques, hauràs vist que $\neg D\Rightarrow\neg B$ és $B\Rightarrow D$. Això simplifica molt el problema i ajuda a entendre'l abans. De totes formes, no pots canviar $\neg D\Rightarrow\neg B$ per $B\Rightarrow D$ directament, sinó que s'ha de fer pas a pas.