5.5 Reducción al absurdo. $P\Rightarrow Q,\ \neg Q\vdash\neg P$

Ésta es una técnica muy útil. La validez de $P\Rightarrow Q,\ \neg Q\vdash\neg P$ se demuestra con:

$$\begin{fitch} \par P \Rightarrow Q \\ \par \neg Q \\ \par \... ...neg Q & IT 2 \\ \par \neg P & I$\neg$\ 3,4,5 \par \end{fitch}$$

A lo que hay que llegar es a $\neg P$, que es la negación de algo, por eso habrá que usar la regla de introducción de la negación, conocida como reducción al absurdo.

La forma de hacer esto será suponer lo contrario de $\neg P$ (que es $P$) y llegar a una contradicción. Al suponer $P$ llegaremos a $Q$ (por eliminación de la implicación), y como también tenemos que $\neg Q$, podremos aplicar la regla. Este $\neg Q$ habrá que meterlo dentro de la subdemostración con la regla de iteración, para que esté junto con la $Q$ y dentro de la subdemostración. Todo lo que hay dentro de la subdemostración es consecuencia de $P$, así que es importante ver que tanto $Q$ como $\neg Q$ lo son.

Para la introducción de la negación, la forma de justificar la regla es poniendo el número de línea donde empieza la suposición (errónea), y los números de las dos líneas donde hemos visto la contradicción. La conclusión de esta regla es lo contrario de lo que se había supuesto, en este caso $\neg P$, por lo que se acaba el procedimiento.

Este razonamiento se suele hacer sin pensar. En palabras sería algo así: ``claro que $\neg P$, porque si fuera $P$ entonces $Q$, y me dicen que $\neg Q$, así que no puede ser $P$''.