5.9 La part esquerra buida. $\vdash P\Rightarrow P$

Demostrar $\vdash P\Rightarrow P$ és molt fàcil i curt:

$$\begin{fitch} \par \fh P & H \\ \par \fa P & IT 1 \\ \par P \Rightarrow P & I$\Rightarrow$\ 1,2 \par \end{fitch}$$

Aquest cas encara no havia sortit: resulta que el costat esquerre del seqüent està buit. Això vol dir que no ens donen cap veritat en què basar-nos per demostrar que $P\Rightarrow P$. Per què? Doncs perquè $P\Rightarrow P$ és cert sempre, sense importar el valor de $P$ o de la resta de fórmules.

És molt més còmode i interessant resoldre una d'aquestes demostracions, perquè pots començar a treballar directament en la fórmula a la qual vols arribar. Però ves amb compte, perquè hi ha algunes veritats absolutes (de les que són certes sempre) molt difícils i llargues de demostrar.

Apunta: sempre que la part esquerra estigui buida, s'ha de començar amb una hipòtesi (quina altra cosa podríem fer?).

Per aconseguir provar que $P\Rightarrow P$ fem el de sempre: suposem que $P$ i intentem arribar a veure que $P$ és cert. Com ho hem just suposat a la primera línia, usem la regla de iteració per copiar-ho endins, i acabem la subdemostració mitjançant la introducció de la implicació. I ja està tot fet, en tres línies.

Fixa't en que $P\Rightarrow P$ és cert perquè $\blacksquare\Rightarrow\blacksquare$ i $\square\Rightarrow\square$. Ja de pas, recordo que també $\square\Rightarrow\blacksquare$, però $\blacksquare\nRightarrow\square$.