5.9 El lado izquierdo vacío. $\vdash P\Rightarrow P$

Demostrar $\vdash P\Rightarrow P$ es muy fácil y corto:

$$\begin{fitch} \par \fh P & H \\ \par \fa P & IT 1 \\ \par P \Rightarrow P & I$\Rightarrow$\ 1,2 \par \end{fitch}$$

Este caso no había salido aún: resulta que el lado izquierdo del secuente está vacío. Quiere decir que no nos dan ninguna verdad en la que basarnos para demostrar que $P\Rightarrow P$. ¿Por qué? Pues porque $P\Rightarrow P$ es cierto siempre, sin importar el valor de $P$ o de las demás fórmulas.

Es mucho más cómodo e interesante resolver una de estas demostraciones, porque empiezas a trabajar directamente en la fórmula a la que quieres llegar. Pero cuidado, que hay algunas verdades absolutas (de las que son ciertas siempre) muy difíciles y largas de demostrar.

Apunta: siempre que el lado izquierdo esté vacío, hay que empezar con una hipótesis. (¿qué otra cosa se puede hacer?).

Para conseguir probar que $P\Rightarrow P$ hacemos lo de siempre: suponemos que $P$ e intentamos llegar a ver que $P$ es cierto. Como lo hemos supuesto en la primera línea, usamos la regla de iteración para copiarlo dentro, y acabamos la subdemostración mediante la introducción de la implicación. Y ya está todo hecho, en tres líneas.

Fíjate en que $P\Rightarrow P$ es cierto porque $\blacksquare\Rightarrow\blacksquare$ y $\square\Rightarrow\square$. Ya de paso, te recuerdo que también $\square\Rightarrow\blacksquare$, pero $\blacksquare\nRightarrow\square$.